# 引入

高中物理选修二的交变电流这一章里，有这两个公式：

$$I = \text{\(\frac {I_m} {\sqrt{2}}\)} = 0.707\ I_m \\ U = \text{\(\frac {U_m} {\sqrt{2}}\)} = 0.707\ U_m$$

这是正弦式电流有效值的计算公式，书中并没有给出证明。但从原理出发，无非就是通过交变电流在一定时间内产生的热量来推理。

# 利用面积求产热

在计算下图这种交变电流时，只需计算每条线段对应的 $i^{2}rt$，最后加起来即可。但这张图启发了我，或许可以利用图像面积来证明。

假设图中这个函数为$f(x)$，那么只需要对整个函数平方，得到$f^{2}(x)$，这样得到的面积就是$i²t$ 了，再在整个基础上乘$r$，就得到了$i^{2}rt$。

如果用同样的思想放到正弦式交流电上呢？

# 正弦式交流电

如上图，该交变电流表达式为：

$$u(t) = U_m \sin \text{\(\frac {2\pi} T\)}t$$

如果将$u(t)$ 平方，即可得到：

$$u^{2}(t)=U_{m}^2\sin^2\text{\(\frac {2\pi} T\)}t$$

设生热时间为$T$，那么图中面积就是$U^2T$ 了。只需要将面积除以$R$，即可得到交变电流在$T$ 秒内产生的热量：$Q=\text{\(\frac {U^2} R\)}T$

问题来了，面积怎么算？

既然有函数表达式，直接积分就完事了呗。

# 积分求面积

\begin{align} S &= \int_{0}^{T} u^2(t) \ dt \\ &= \int_{0}^{T} U_{m}^2\sin^2\text{\(\frac {2\pi} T\)}t\ dt \\ \end{align}

运用降次公式$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos2x}{2}$：

\begin{align} 原式 &= \int_{0}^{T} U_{m}^2\sin^2\text{\(\frac {2\pi} T\)}t \ dt \\ &= \int_{0}^{T} U_{m}^2\frac{1 - \cos\frac{4\pi}{T}t}{2} \ dt \\ &= \int_{0}^{T} \frac{U_{m}^2 - U_{m}^2\cos\frac{4\pi}{T}t}{2} \ dt \\ &= \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}\ dt - \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \cos\frac{4\pi}{T}t\ dt \end{align}

对$\text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}$ 求原函数得到：$\text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}t$

对$\text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \cos\frac{4\pi}{T}t$ 求原函数得到：$\text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \text{\(\frac {T} {4\pi}\)} \sin\frac{4\pi}{T}t$

带入原式，得：

\begin{align} 原式 &= \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}\ dt - \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \cos\frac{4\pi}{T}t\ dt \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}t \ \Big|_0^T - \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \text{\(\frac {T} {4\pi}\)} \sin\frac{4\pi}{T}t\ \Big|_0^T \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} T - 0 \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} T \end{align}

完整证明过程如下：

\begin{align} S &= \int_{0}^{T} u^2(t) \ dt \\ &= \int_{0}^{T} U_{m}^2\sin^2\text{\(\frac {2\pi} T\)}t\ dt \\ &= \int_{0}^{T} U_{m}^2\frac{1 - \cos\frac{4\pi}{T}t}{2} \ dt \\ &= \int_{0}^{T} \frac{U_{m}^2 - U_{m}^2\cos\frac{4\pi}{T}t}{2} \ dt \\ &= \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}\ dt - \int_{0}^{T} \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \cos\frac{4\pi}{T}t\ dt \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}t \ \Big|_0^T - \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \text{\(\frac {T} {4\pi}\)} \sin\frac{4\pi}{T}t\ \Big|_0^T \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} T - 0 \\ &= \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} T \end{align}

# 推导结果

由此还可以看到，无论频率是多少， $\text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)}t \ \Big|_0^T - \text{\(\frac {U_{m}^2} 2\)} \text{\(\frac {T} {4\pi}\)} \sin\frac{4\pi}{T}t\ \Big|_0^T$ 的结果都是 0。因此，有效值的大小与频率没有关系。

现在得到面积了，也就是$U^2T$，带入$Q=\text{\(\frac {U^2} R\)}T$，得到：

$$Q = \text{\(\frac {U_{m}^2T} {2R}\)}$$

接下来，根据有效值的定义：

设恒定电流的电压为$U$，生热为：

$$Q = \text{\(\frac {U^2} {R}\)}t$$

将$t=T$ 代入，得：

$$Q = \text{\(\frac {U^2} {R}\)}T$$

接下来，将交变电流产热与恒定电流产热的表达式联立：

$$\text{\(\frac {U_{m}^2T} {2R}\)} = \text{\(\frac {U^2} {R}\)}T$$

整理可得：

\begin{align} U_m^2 &= 2U^2 \\ U_m &= \sqrt2U \\ U &= \text{\(\frac {U_m} {\sqrt{2}}\)} \end{align}

同理，利用$Q=I^2Rt$，也可得到电流最大值与电流有效值的关系：

$$I = \text{\(\frac {I_m} {\sqrt{2}}\)}$$

证毕。